Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)={\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\psi (z)={\frac {{\rm {d}}^{m+1}}{{\rm {d}}z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)\;,}$

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция, а

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

— дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,}$

где ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (в указанных точках функция ${\displaystyle {\textstyle {\psi (z)}}}$ имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}\;,\qquad m>0\;,}$

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комплексного ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (в указанных точках функция ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}$ имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.}$

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}$ иногда обозначается как ${\displaystyle {\textstyle {\psi _{m}(z)}}}$ или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция ${\displaystyle {\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{(1)}(z)}}}$ называется тригамма-функцией, ${\displaystyle {\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{(2)}(z)}}}$ — тетрагамма-функцией, ${\displaystyle {\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{(3)}(z)}}}$ — пентагамма-функцией, ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(4)}(z)}}}$ — гексагамма-функцией, и т. д.